Оценке параметра экспоненциального закона , мы уделяем много внимания по двум причинам. Во-первых, экспоненциальный закон находит серьезные применения в задачах теории надежности, к настоящему времени имеется большое число работ, посвященных этому вопросу. Во-вторых, для случая показательного закона многие задачи удается разрешить в явной форме, выписав ответ в виде простых формул.

Таким образом, на примере показательного закона можно изложить основные идеи методов получения оценок, не затемняя их сложными расчетами. Уместно также будет заметить, что обычно в литературе по надежности, предполагают при оценке параметров закона Вейбулла , что значение параметра р нам известно. Однако при таком предположении закон Вейбулла заменой времени может быть сведен к показательному закону. Так называемый логарифмически показательный закон, для которого , также заменой переменных может быть сведен к показательному. Таким образом, приводимые ниже оценки с учетом замены времени могут быть использованы и в этих случаях.

В качестве основного параметра, для которого в настоящем параграфе строятся оценки, выбрано значение . Однако можно было бы строить оценки для параметра , равного среднему значению времени безотказной работы. В ряде случаев может возникнуть необходимость получения оценок для вероятности безотказной работы в течение заданного времени . В конце статьи даны формулы для несмещенных оценок , соответствующие планам [N, Б, r], [N, B, r].

Планы типа В

Вначале рассмотрим планы испытаний с восстановлением отказавших элементов [N, B, r], [N, B, T], [N, B, (r, T)]. Для этих планов моменты наблюдаемых отказов образуют пуассоновский поток с интенсивностью . Действительно, так как времена безотказной работы каждого элемента взаимно независимо, то последовательность моментов , замен элементов в k-й ячейке стенда образует процесс восстановления, у которого интервалы являются взаимно независимыми показательно распределенными случайными величинами, .

Но такой процесс восстановления является пуассоновским потоком с интенсивностью, равной . Моменты замен элементов (отказов) взаимно независимы, поэтому взаимно независимы пуассоновские потоки моментов замен, соответствующие N различным ячейкам стенда. Так как поток всех отказов, которые происходят при испытаниях, является суперпозицией N взаимно независимых пуассоновских потоков с интенсивностями , то он также будет пуассоновским потоком с интенсивностью . Это утверждение является прямым следствием результатов главы 2.

План [N, B, T]. В случае плана [N, B, T] мы наблюдаем пуассоновский поток отказов с интенсивностью в течение времени Т. Пусть - число наблюдаемых отказов, которые произошли в моменты . Плотность вероятности этого события можно получить следующим образом. Вероятность того, что первый отказ произойдет в интервале , равна , условная вероятность того, что второй отказ произойдет в интервале при условии, что первый отказ произошел в интервале , равна и т.д.

Наконец, условная вероятность того, что - й отказ произошел в интервале , а в интервале других отказов не было при условии, что отказы произошли в интервалах , равна . Вероятность события, что отказы произошли в интервалах , равна произведению этих условных вероятностей,

Таким образом, плотность вероятностей наступления отказов в моменты равна

... (1)

Вероятность, того что за время испытаний Т не произойдет ни одного отказа, равна

... (2)

Рассматривая, (1) и (2) как функции правдоподобия, получаем уравнение максимального правдоподобия

... (3)

решение которого имеет вид ... (4)

Так как , то оценкой параметра является ... (5)

Так как , то

... (6)

т.е. оценка (5) является несмещенной.

... (7)

... (7')

Можно показать, что эта оценка является эффективной. Заметим также, что из вида плотности (1) следует, что в случае плана [N, B, T] достаточной статистикой является только число отказов, происшедших за время испытаний, а сами моменты отказов никакой дополнительной информации о параметре не содержат. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Испытания проводились по плану [N=100, B, T=200]. Отказы произошли в моменты . Общее число отказов . По формуле (5) находим, что

План [N, B, r]. Для плана [N, B, r], рассуждая аналогичным образом, получаем, что вероятность того, что отказы произойдут в интервалах , равна

Отсюда следует, что плотность вероятностей наступления отказов в моменты равна

... (8)

Из (8) следует, что достаточной статистикой для оценки параметра является момент , наступления r-го отказа. Уравнение максимального правдоподобия имеет вид

... (9)

откуда получаем оценку ... (10)

Заметим теперь, что , т.е. является суммой r интервалов между последовательными отказами. Эти интервалы являются взаимно независимыми случайными величинами с плотностями вероятностей, равными . Поэтому плотность вероятностей , равная свертке r плотностей , имеет вид

... (11)

Из (11) и (10) получаем

... (12)

Следовательно, оценка , полученная методом максимального правдоподобия, является смещенной, а при r=1 ее математическое ожидание равно бесконечности. Смещение легко устранить, если рассмотреть оценку

... (13)

Из (13) и (12) следует, что . Вспомнив, что , получаем несмещенную оценку для

... (14)

Для дисперсий оценок (13), (14) имеют место формулы

... (15)

... (16)

Дисперсии оценок существуют только для значений r>2.

Пример 2. Испытания проводились в соответствии с планом . Момент регистрации десятого отказа . Из формулы (14) находим оценку

План [N, b, (r, T)]. При исследовании более общего плана [N, b, (r, T)] испытания прекращаются в момент Т, и при этом наблюдается отказов, или в момент появления r-го отказа, если . В первом случае плотность вероятности наступления отказов в моменты записывается по формуле (1), а во втором случае плотность вероятности наступления отказов в моменты - по формуле (8). Используя метод максимального правдоподобия, получаем оценку для

По аналогии с только что разобранным случаем плана [N, b, r] мы можем улучшить эту оценку, устранив смещение. Вводим оценку

... (17)

которая является несмещенной. Действительно, воспользовавшись формулу для условных математических ожиданий, получаем

Аналогичным способом можно найти дисперсию этой оценки

... (18)

Для несмещенной оценки параметров имеем

... (19)

... (20)

В заключение отметим изящный результат, полученный Л.Н. Большевым. Существует общий класс планов проведения испытаний, в которых момент остановки испытаний t* определялся как момент первого достижения траекторией (t, d(t)) границы множества G. Здесь d(t) - число элементов, отказавших к моменту t. Предположим, что граница Г множества G является невозрастающей функцией от t (рис. 1).

Рис. 1. График множества G и его границы.

Точки границы Г разбиваются на два класса. Назовем точку точкой класса А, если правее ее на уровне d все точки не принадлежат множеству G. Точки класса А обведены на рис.1 кружками. Точки границы Г, не являющиеся точками класса А, назовем точками класса Б. Эти точки на рис. 1 показаны тонкими сплошными линиями. Л.Н. Большев показал, что несмещенная оценка для параметра строится следующим образом. Если в момент первого достижения траекторией (t, d(t)) границы Г точка (t*, d(t*)) есть точка класса А, то оценка определяется по формуле

Если же точка (t*, d(t*)) есть точка класса Б, то оценка для находится по формуле

Заметим, что с вероятностью единица момент достижения точек класса Б совпадает с моментом наступления отказа.

Планы типа Б. Рассмотрим теперь планы , в которых отказавшие элементы не заменяются новыми.План [N, Б T]. Выражение для плотности вероятностей того, что при испытаниях по плану [N, Б, T] отказы произойдут в моменты , можно получить следующим образом. Плотность вероятностей того, что в эти моменты откажут элементы с номерами , равна, в силу взаимной независимости моментов отказов, произведению плотностей вероятности для моментов отказов каждого из этих элементов, умноженных на вероятность того, что в интервале (0, Т) отказов у остальных N - d(t) элементов не произойдет, т.е. равна

... (21)

Событие, состоящее в том, что моменты отказов равны , может осуществиться способами, так как из N чисел можно сделать N...N - d(t)+1 различных выборок номеров . Умножая (21) на , получаем выражение для искомой плотности вероятностей

... (22)

Таким образом, в случае плана [N, Б T] достаточными статистиками будут: число d(t) элементов, отказавших за время Т, и сумма времен, в течение которых проработал каждый элемент, т.е. суммарная наработка элементов за время проведения испытаний. Из (22) получаем, что

... (23)

Отсюда имеем ... (24)

Таким образом, оценка максимального правдоподобия равна ... (25)

Эта оценка является смещенной. Точный подсчет смещения приводит к очень громоздким формулам, которые мы опускаем. По этой же причине мы опускаем формулу для дисперсии . Заметим, что для сравнительно надежных элементов при плотность условного распределения момента отказа, происшедшего в интервале (0, T) равна , а среднее значение каждого приближенно можно считать равным T/2. Отсюда для d(t) > 10 и , исходя из закона больших чисел, можно считать, что . Подставив это выражение в знаменатель формулы (25), получаем

... (26)

Формулой (26) часто пользуются на практике. Следует, однако, иметь в виду, что она применима при . Если считать, что формула (25) слишком сложна, то для оценки также можно исходить из формулы оценки вероятности по частоте. Оценкой для вероятности безотказной работы элемента является отношение числа элементов N - d(t), безотказно проработавших в течение времени Т, к общему числу N элементов. Приравняв оценку к теоретическому значению вероятности, получаем для нахождения оценки уравнение

,

откуда ... (27)

Этой формулой можно воспользоваться для значений . Заметим, что смещение оценки (27) является бесконечным, так как с положительной вероятностью может получиться, что d(t) = N.

Пример 3. Испытания проводились в соответствии с планом [N=100, Б, T=500]. Отказы произошли в моменты

Общее число отказавших элементов d(500) = 11, суммарная наработка

= 31 + 49 + 90 + 135 + 161 + 249 + 323 + 353 + 383 + 436 + 477 + 89*500 = 47 147

По формуле (25) находим оценку для параметра

Если исходить из упрощенной формулы (26), то .

План [N, Б, r]. Для плана [N, Б, r] плотность вероятностей появления отказов в моменты получаем из рассуждений, аналогичных тем, которые были использованы для плана [N, Б, T]. Плотность вероятностей, того, что в моменты откажут элементы с номерами , а остальные N - r элементов в интервале не дадут отказов, равна .

Учитывая, что число возможных наборов по r различных цифр из N равно N(N - 1)...(N -r +1), получаем, что плотность вероятностей наступления r отказов в моменты

Из этой формулы следует, что достаточной статистикой является суммарная наработка всех испытываемых элементов.

... (29)

Заметим, что, введя новые переменные , плотность (28) можно, учитывая (29), переписать в виде

... (30)

При этом мы учитываем, что якобиан перехода от координат к координатам равен 1. Из (30) следует, что случайные величины являются взаимно независимыми, при этом плотность равна , соответственно плотность случайной величины равна . Таким образом, из (30) следует, что s является суммой r взаимно независимых показательно распределенных случайных величин. Отсюда получаем, что плотность распределения суммарной наработки равна ... (31)

Прологарифмировав плотность (28), находим

откуда получаем уравнение максимального правдоподобия

Оценка максимального правдоподобия имеет вид ... (32)

Использовав выражение (31) для плотности вероятностей суммарной наработки, находим, что

Таким образом, оценка является смещенной. Это смещение можно устранить, если использовать оценку ... (33)

Дисперсия этой оценки равна

... (34)

Пример 4. Испытания проводились в соответствии с планом [N=50, Б, r=8]. Моменты отказов равны . Значение суммарной наработки = 91+145+221+285+317+328+411+496(50-7)=21 965.

По формуле (33) находим оценку для параметра :
План [N, Б, (r,T)]. Если используется план [N, Б, (r,T)], то испытания прекращаются либо в момент T, если , либо в момент , если . Соответственно в первом случае плотность вероятностей наступления d(t) отказов в моменты записывается по формуле (22), а во втором, для моментов отказов - по формуле (28). Как и в случае плана [N, B, (r,T)], находим, что оценка максимального правдоподобия имеет вид

По аналогии с предыдущим случаем мы можем использовать улучшенную оценку для случая . Окончательно получаем

... (35)

Эта оценка является смещенной; ввиду громоздкости формул, выражающих смещение и дисперсию, мы вынуждены пропустить их.

План [N, Б, (r, HS₀)]. В заключение рассмотрим еще один план проведения стендовых испытаний, который также находит практическое применение. Проводятся испытания N элементов без восстановления отказавших. Испытания прекращаются в тот момент, когда либо суммарная наработка испытываемых элементов станет равной заданному до начала испытаний числу S₀, либо в момент отказа r-го отказа элемента, если при этом суммарная наработка оказывается меньше S₀. Такой план сокращено будем обозначать через [N, Б, (r, HS₀)]. Если обозначить через число N(t) элементов, оставшихся исправными к моменту t, то суммарная наработка S(t) испытываемых элементов к моменту t равна . Допустим, что отказы элементов произошли в моменты , тогда суммарная наработка к моменту времени t задается формулой

t₀ = 0, если d(t) = 0. Испытания прекращаются в тот момент s, когда либо суммарная наработка

... (36)

(при этом d(s)<r), либо в момент t_r отказа r-го элемента

... (37)

Выше было показано, что при испытаниях N элементов без восстановления отказавших случайные величины являются взаимно независимыми, одинаково распределенными с плотностью . Таким образом, условия (36) и (37) фактически означают, что мы наблюдаем пуассоновский поток отказов с интенсивностью и прекращаем наблюдения либо в момент S₀, либо в момент S(t_r) наступления r-го отказа. Но задачу оценки параметра пуассоновского потока мы уже решили, разбирая случай плана [N, B, (r,T)]. Чтобы воспользоваться оценкой (17), в ней надо считать и в формуле для дисперсии оценки (18) считать = . Окончательно,

... (38)

находится по формуле (35). Эта оценка несмещенная, ее дисперсия в соответствии с формулой (18) равна

... (20)

Как это следует из рассмотрения плана [N, B, (r,T)], достаточными статистиками будут d(t₀), если S(t_r) > S₀, и S(t_r), если S(t_r) < S₀.

Пример 5. Испытания проводятся в соответствии с планом [N=100, Б, (r=5, HS=10000)]. Первый отказ наступил в момент t₍₁₎₌₃₄, значение суммарной наработки S_Б(t₍₁₎)=3400<10000. Второй отказ был зарегистрирован в момент t₍₂₎=75, значение суммарной наработки стало равным S_Б(t₍₂₎)=7459<10000. В интервале от t₍₂₎=75 до t₍₀₎=100,71 отказы не наблюдались. В момент t₍₀₎=100,71 значение суммарной наработки достигло заданного уровня 10 000. В соответствии с верхней частью формулы (38) находим

Несмещенные оценки для вероятности безотказной работы

Одним из наиболее важных показателей надежности является вероятность безотказной работы в течение заданного времени T3. В случае показательного закона эта вероятность . Используя полученные выше формулы для оценок параметра , можно в качестве оценки для рассматривать

... (39)

Можно показать, что эта оценка при увеличении числа N испытываемых элементов является состоятельной и асимптотически эффективной, если только - асимптотически эффективная оценка для . Однако при конечных значениях N оценка, задаваемая формулой (39), является смещенной. Это смещение может быть весьма существенным в практически важном случае, когда R(T₃) близка к единице. Величина смещения зависит также от типа плана, в соответствии с которым проводятся испытания. Так же как и для оценок параметра , можно поставить задачу отыскания несмещенных оценок для . Основная идея построения несмещенных оценок с минимальными дисперсиями заключается в следующем. Сначала отыскивают несмещенную оценку для заданной функции от неизвестного параметра. Если эта несмещенная оценка - функция от достаточной статистики (и притом единственная), то она имеет наименьшую дисперсию. Если же эта несмещенная оценка не является функцией от достаточной статистики, то в качестве новой несмещенной оценки рассматривается условное математическое ожидание от исходной оценки при условии, что фиксировано значение достаточной статистики.