В эксперименте изучается ракетное топливо, которое представляет собой комбинацию окислителя, горючего и связывающего вещества.

Интересующим нас свойством топлива является его эластичность. Цель состоит в том, чтобы найти пропорции, для которых эластичность достигала величины 3000.

Также задача состоит в нахождении математической формулы, позволяющей предсказывать значения эластичности, исходя из компонент топлива. Пример основан на реальных данных, описанных в книге Kurotori I.S. (1966). Experiments with Mixtures of Components Having Lower Bounds, Industrial Quality Control, 22, p. 592-596.

Начнем прежде всего с построения плана эксперимента. Запустим модуль Планирование эксперимента.

Рис.1. Стартовая панель модуля Планирование эксперимента

На стартовой панели выберем Планы для смесей и нажмем кнопку OK.

В появившемся диалоговом окне выберем опцию Построение плана, далее укажем Симплекс-центроидный план, введем 3 в поле Число факторов и выделим опцию Дополнить внутренними точками.

Рис.2. Задание плана для построения

Нажмем кнопку OK. Появится диалоговое окно План эксперимента для смеси.

Рис.3. План эсперимента для смеси

Нажмем на кнопку Имена факторов, значения и заполним появившуюся таблицу следующим образом.

Рис.4. Задание переменных

Нажмем кнопку Далее. Полученный план можно просмотреть, нажав на кнопку Просмотр/Правка/Сохранение, предварительно определив опции, как показано на рисунке ниже.

Рис.5. Задание характеристик плана

Сохраним план. Для этого выберем из меню Файл|Сохранить как файл данных; появится соответствующее диалоговое окно (рис. 4).

Зададим имя плана rocket.sta и нажмем кнопку OK.

Рис.6. Сохранение плана

План построен. Проведем сбор данных согласно этому плану.

Ввод экспериментальных данных

Откроем файл данных rocket.sta и добавим переменную elastic, содержащую данные для 10 откликов, полученных экспериментальным путем (вы можете скачать файл rocket.sta ).

Рис.7. Данные эксперимента

Анализ экспериментальных данных

В диалоговом окне Планирование экспериментов для смесей выберем теперь Анализ результатов.

Нажмем кнопку Переменные. Зададим elastic в качестве зависимой переменной, binder, oxidizer и fuel в качестве независимых переменных.

Рис.8. Задание переменных для анализа результатов

В поле Перекодировать факторы оставим принятое по умолчанию положение Автоматически определяемые мин./макс. значения. Теперь нажмем OK. Появится диалоговое окно Анализ эксперимента для смеси.

На панели Модель выберем Специальная кубическая.

Рис.9. Диалоговое окно результатов анализа

Нажмем на кнопку Дисперсионный анализ. Появятся две таблицы. В одной из них приведена сводка проведенного анализа, а в другой – результаты дисперсионного анализа для специальной кубической модели (рис. 10).

Рис.10. Сводка результатов анализа экспериментальных данных

Значимые модели выделены красным цвеsтом.

Из таблицы видно, что статистически значимые эффекты наблюдаются у квадратической и специальной кубической моделей (p-значения меньше 0.05).

Так как у специальной кубической модели среднеквадратичная ошибка меньше, а значения коэффициента детерминации R-квадратов больше, чем у квадратической модели, будем использовать специальную кубическую модель.

Нажмем кнопку Оценки псевдокомпонент. Программа отобразит статистики, рассчитанные для специальной кубической модели.

Рис.11. Результаты расчетов специальной кубической модели

Как следует из полученных цифр, все члены специальной кубической модели имеют значимые эффекты (p < 0.05), кроме одного члена AB.

Таблица дисперсионного анализа показывает весьма неплохие результаты для подобранной специальной кубической модели (p-значение гораздо меньше 0.05).

Рис.12. Таблица дисперсионного анализа

Чтобы проиллюстрировать данные результаты, рассмотрим графики. Нажмите на кнопку Поверхность.

Рис.13. График поверхности отклика

На графике поверхности отклика хорошо видны минимум и максимум отклика и можно приблизительно оценить относительные доли компонентов ракетного топлива, при которых достигается наибольшая эластичность.

Для точного определения этих долей рассмотрим контурный график. Он вызывается кнопкой Контур.

Рис.14. Контурный график поверхности отклика

На графике визуально легко определить на каких значениях FUEL, BINDER, OXIDIZER достигается нужная эластичность. Вершины треугольника имеют координаты (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

Эластичность 3000 лежит вблизи доли связующего вещества 0.25, доли окислителя 0.45 и доли горючего 0.25. Более точные значения пропорций компонентов следующие: связывающее вещество – 0.26667; окислитель – 0.46667 и горючее – 0.26667.

Можно вбрать некоторые пропорции компонентов, которые дают значения эластичности, близкие к 3000. Например, набор компонент (0.25, 0.5, 0.25) дает эластичность 2927.7, набор (0.25, 0.45, 0.3) – эластичность 3042.9. Вы можете легко это проверить с помощью кнопки Предсказать зависимую переменную (см. панель на рис. 9).

Для оценки эластичности по любому набору компонент воспользуемся кнопкой Предсказать зависимую переменную. Зададим значения факторов, например, как показано ниже.

Рис.15. Задание значений факторов

Нажмем кнопку OK.

Рис.16. Оценки для предсказанных значений

На экране появится таблица с прогнозируемыми с помощью построенной кубической модели значениями эластичности.

В нижней части таблицы показано значение Предсказ. = 2396.872 предсказанной эластичности для исходных компонент.

Также даны верхние и нижние границы 95% доверительного интервала и границы для прогноза.

Изменим значения компонент топлива, возьмем, например, BINDER = 0.27, OXIDIZER = 0.43, FUEL = 0.3.

Рис.17. Задание значений факторов

Для этих компонент получим следующее значение эластичности.

Рис.18. Оценки для предсказанных значений

Более подробная информация содержится в специальных материалах StatSoft.