Недостаточность точечных оценок

Какими бы хорошими свойствами эти оценки не обладали, например несмещенностью и эффективностью, все же в ряде случаев, представляющих большой практический интерес, оказывается недостаточным характеризовать качество и надежность изделий только с помощью оценок.
Если отказ элемента приводит к большому ущербу, то используются только очень надежные элементы. В случае показательного закона отказов это означает, что величина должна быть крайне мала.
Поскольку время Т проведения испытаний ограничено, то малость приводит к тому, что среднее число отказов, наблюдаемых при проведении испытаний, также мало.

Может оказаться, что при проведении испытаний отказы вообще не наблюдаются. В тех случаях, когда наблюдаемое число отказов отлично от нуля, но невелико, естественная мера разброса значений случайной оценки - отношение корня из дисперсии к математическому ожиданию - велика (>1), поэтому величина оценки резко меняется от испытания к испытанию и не может служить устойчивой характеристикой надежности элементов.

Эти критические замечания подводят нас к целесообразности использования для оценки параметра экспоненциального закона метода доверительных интервалов. Двусторонним доверительным интервалом для параметра с коэффициентом доверия, не меньшим , называется случайный интервал , концы которого зависят только от исходов испытаний х и для любого > 0

Верхним и нижним односторонними интервалами называются такие случайные интервалы, для которых при любом > 0 соответственно

При построении доверительных интервалов мы будем использовать общий метод. При этом в качестве случайных величин, распределение которых зависит от неизвестного параметра , мы будем брать значения достаточных статистик, которые получаются в результате проведения испытаний. Заметим, поскольку оценки для параметра являются монотонными функциями от рассматриваемых ниже достаточных статистик, то доверительные интервалы, полученные исходя из оценок, с одной стороны, и достаточных статистик, с другой, - совпадают. Мы несколько изменим порядок изложения, рассмотрев сначала более простые планы [N, B, T], [N, B, r], [N, Б, r], [N, Б, T], а затем более сложные планы [N, B, (r, T)], [N, Б, (HS)], [N, Б, (r, T)].

Доверительные интервалы для планов с простыми достаточными статистиками

Для плана [N, B, T] достаточной статистикой является число d(T) наблюденных отказов.

d(T) - случайная величина, имеющая пуассоновское распределение с параметром . На плоскости исходы опыта представляются в виде случайных точек , где - значение параметра пуассоновской величины, а d - число наблюденных отказов. Для построения верхней границы доверительного интервала с коэффициентом доверия, не меньшим , мы должны для каждого значения указать такое целое число , что вероятность того, что достаточная статистика примет значение, не большее , не превышает 1 -, а вероятность принять не большее [+1] - уже больше, чем 1 -. Так как величина d(T) распределена по закону Пуассона, то определяется из соотношения

... (1)

где . Заметив, что является монотонно убывающей функцией параметра , мы получаем, что - неубывающая функция от . Так как d() принимает только целочисленные значения, то является ступенчатой неубывающей функцией (рис. 1).

Рис. 1. Вид и

При этом из (1) следует, что впервые достигает уровня d при таком значении , для которого

... (2)

Определим множество как совокупность точек > 0, d=0,1,2,..., для которых
d() > . Из определения следует, что вероятность того, что случайная точка , где , а d(T) - число отказавших элементов, попадает в множество , ни при каком значении не превышает 1 -. Событие эквивалентно тому, что значение лежит левее случайной точки , определяемой из (2). Вероятности эквивалентных событий равны поэтому

... (3)

Таким образом, является верхней доверительной границей с коэффициентом доверия, не меньшим . Так как , то является верхней доверительной границей для параметра с тем же коэффициентом доверия .

При построении двустороннего доверительного интервала для параметра пуассоновской случайной величины d(T) с коэффициентом доверия выбираем два числа и > 0, (обычно = ) и строим множество точек , для которых или

... (4)

Из условий (4) следует, что вероятность попадания случайной точки в множество не превышает . Учитывая, что функция - монотонно убывающая из (4), получаем, что точка тогда и только тогда, когда значение лежит левее точки и правее точки , для которых

... (5)

так как только при этом не выполняется хотя бы одно из неравенств (4). Итак, событие

эквивалентно событию . Отсюда получаем

... (6)

Значения определяются формулой

... (7)

и исходя из (5), можно записать

... (8)

Таким образом, интервал является доверительным с коэффициентом доверия, равным . Учитывая снова, что , получаем доверительный интервал для оцениваемого значения ,

... (9)

где значения и находятся как решения уравнений (5). Если d=0, то значение (0-1) считается равным нулю. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Предположим, что проводились испытания по плану [N=500, B, T=100] и при этом было зарегистрировано 5 отказов: d(T) = 5. Требуется найти верхний доверительный предел с коэффициентом доверия =0,9. Вычисляя, находим, что для
=0,9. Отсюда

истинное значение с вероятностью 0,9 не превосходит найденного значения . Построим теперь двусторонний доверительный предел, соответствующий значению =0,9; = = 0,05 находим . Отсюда по формуле (9) находим

При использовании плана [N, B, r] достаточной статистикой является момент t_r, появления r-го отказа. Плотность вероятностей этой статистики задается формулой (11) из раздела Оценка параметра экспоненциального закона. Заметим теперь, что плотность случайной величины имеет вид

... (10)

т.е. не зависит от неизвестного значения параметра . Если задаться значением коэффициента доверия и значениями и такими, что

... (11)

то из плотности (10) следует, что

... (12)

Неравенства в (12) эквивалентны неравенствам , поэтому имеем

... (13)

Так как соотношение (13) выполнено для любого > 0 , то случайный интервал

является доверительным интервалом для параметра с коэффициентом доверия . Соответственно для параметра доверительный интервал имеет вид:

... (14)

Односторонний интервал с коэффициентом доверия получаем из (14), полагая = 0,
= 1 - . При этом , .

Пример 2. В результате испытаний в соответствии с планом [N=500, B, r=15] получено, что . Найти верхний доверительный интервал с коэффициентом доверия =0,99. Вычисляя значения , что =25,446. Из формулы (14) получаем значение границы доверительного интервала для

Аналогичным способом можно построить доверительный интервал для плана [N, Б, r]. Здесь достаточной статистикой является суммарная наработка испытываемых элементов

, где моменты отказов элементов. Плотность этой статистики имеет вид (31) из раздела Оценка параметра экспоненциального закона, поэтому случайная величина имеет плотность (10). Повторяя рассуждения, использованные при выводе формулы (13), получаем, что

... (15)

Итак, двусторонний доверительный интервал для , соответствующий коэффициенту доверия = + , будет иметь границы

... (16)

где S_Б(t_r) - суммарная наработка элементов за время проведения испытаний. Соответственно верхняя граница одностороннего интервала с коэффициентом доверия равна

План [N, Б, T]. В случае плана достаточными статистиками является число d(t) отказавших элементов и суммарная наработка Для высоконадежных элементов значение , поэтому условная плотность распределения моментов отказов практически совпадает с плотностью равномерного распределения, так как она равна .

Поэтому при фиксированном значении достаточной статистики S(T) распределение статистики d(T) практически не зависит от значения параметра , если только .

Следовательно, в наиболее важной области малых значений параметра практически вся информация об этом параметре сосредоточена в достаточной статистике d(T). Исходя из этого, мы ограничиваемся только статистикой d(T). Можно было бы рассмотреть значения самой оценки для параметра , равной , однако этот путь приводит к громоздким, мало пригодным для использования формулам. Так как каждый элемент может отказать независимо от отказов других элементов, а вероятность отказа , то распределение отказов d(T) является биномиальным

Функция является монотонной по p, поэтому неравенство эквивалентно неравенству Следовательно,

... (17)

Так как при = 0, для d=0,1,.., N, то из (17), полагая = 0, = 1 - , получаем односторонний доверительный интервал с коэффициентом доверия, не меньшим .

... (18)

Из (17) находим, что двусторонний доверительный интервал имеет вид

... (19)

где находятся из (18), а - для значений = = Односторонний интервал равен

... (20)

где соответствующее значение находится для = 1 - .

Пример 3. Испытания проводятся по плану [N = 150, Б, T=100 час]. За время испытаний отказало 5 элементов. Требуется найти двусторонний доверительный интервал с коэффициентом доверия = 0,95.

Находим, что Таким образом, из формулы (19)

Доверительные интервалы для планов с составленными достаточными статистиками

План [N, Б, (r, T)]. Моменты отказов образуют пуассоновский поток с интенсивностью . Основная специфика этого случая состоит в том, что достаточная статистика для параметра является составной. Если значение t_r > T, то она равна значению d(T) числа моментов, отказавших за время T; если же t_r < T, то достаточная статистика t_r равна - моменту появления r-го отказа.

Рассмотрим точки плоскости вида (рис. 2)

Рис. 2. График точек плоскости вида и множества

Если в результате испытаний элементов, для которых , наблюдается значение t_r<T, то результаты испытаний отмечаются случайной точкой . Если же t_r > T и число отказов равно d(T) = d, то исход опыта обозначается случайной точкой .

Множество точек строится следующим образом. Задаемся двумя числами , > 0,
=1 - (+ ). При фиксированном значении к верхней части множества относим те точки или t, для которых находится из условий ; - целое число, не большее r - 1, если

... (21)

если же , то , где находится из условий

... (22)

Аналогичным образом к нижней части множества относим точки (, S) , для которых находится из условий

... (23)

если же , то в качестве выбирается число , где - целое число, не большее r - 1, находится из условий

... (24)

Вероятность того, что исход испытания будет отмечен случайной точкой не превышает 1 - = + по построению множества . Соответственно вероятность противоположного события не меньше . Если в результате проведения испытаний наблюдалось отказов, то событие эквивалентно событию ... (25)

где и - функции, обратные к , для тех значений , при которых или равны T + r - d, d = 0, ... , r - 1. Из уравнений (21) и (24) находим, что и определяются уравнениями

... (26)

... (27)

Но эти уравнения эквивалентны уравнениям (11). Отсюда находим, что

... (28)

где .

Если же в момент r-го отказа t_r<T, то событие эквивалентно событию ... (29)

где , - функции, обратные к , для тех значений , при которых значения и не превышают Т. Из (22) и (23) находим, что и определяются уравнениями

... (30)

... (31)

Эти уравнения эквивалентны уравнениям (11), в которых

Таким образом, построение доверительного интервала для оценки параметра при использовании плана [N, B, (r, T)] нужно производить так же, как при использовании планов [N, B, T], [N, B, r] в зависимости от того, имеем мы t_r<T или t_r > T .

План [N, Б, (r, HS₀)]. План [N, Б, (r, HS₀)] эквивалентен плану [N = 1, B, (r, S₀)]. Поэтому двусторонний доверительный интервал имеет вид

... (32)

... (33)

где , d(t) - число элементов, отказавших к моменту t. Односторонний доверительный интервал получаем из формул (32), (33), полагая в них = 0 , что соответствует значению = 1 - = 0.

Пример 4. Испытания проводились в соответствии с планом [N=500, Б, (r=20, HS₀=20000)]. К моменту окончания испытаний, когда суммарная наработка стала равной 20 000, отказало 16 элементов. Требуется найти верхний доверительный предел, соответствующий коэффициенту доверия = 0,99. Так как значение , т.е. суммарная наработка элементов достигла уровня S₀ заданного до начала испытаний, раньше, чем наступил отказ 20-го элемента, то верхняя доверительная граница находится по формуле (32). Можно получить, что , откуда

План [N, Б, (r, T)]. Вполне аналогичным способом можно получить доверительные интервалы для случая плана [N, Б, (r, T)]. Здесь достаточная статистика равна либо наработке S(t_r) к моменту t_r, если , либо является двумерной (d(T), S_Б(T)), если t_r>T, где d(T) - число отказавших элементов, а - суммарная наработка. Однако по тем же соображениям, которые приводились для случая плана [N, Б, T], статистику S_Б(T) мы исключаем из рассмотрения.

Итак, значение случайной величины, исходя из которой мы строим доверительный интервал, равно d(T), если t_r>T, и равно , если t_r<T. На плоскости мы рассматриваем множество точек

где - взаимно независимые неотрицательные случайные величины с плотностью, равной . Поэтому

... (34)

Соответственно ... (35)

Далее, в точности повторяя все рассуждения, использованные при построении множества и затем доверительных интервалов для плана [N, B, (r, T)], и учитывая, что распределение d(T) является биномиальным, получаем доверительные интервалы для параметра с коэффициентом доверия не меньшим = 1 - (+ ). Если к моменту Т окончания испытаний общее число отказов d(T) = d < r, то верхняя граница доверительного интервала находится из уравнения

... (36)

а нижняя - из уравнения

... (37)

Если же момент появления r-го отказа t_r<T, то верхняя граница находится из уравнения

... (38)

а нижняя - из уравнения ... (39)

где S(t_r) - суммарная наработка элементов к моменту t_r.

Заметим, что , для случая t_r>T

Для случая необходимо иметь таблицы решений уравнений (38), (39).

Если   для   выбранного   значения   r   плана   [N, Б, (r, T)]   отношение , то   планы [N, Б, (r, T)] и [N, B, (r, T)] практически эквивалентны; соответственно эквивалентны планы [N, B, r] и [N, Б, r], так как число заменяемых элементов составляет незначительную часть от их общего числа. Поэтому в первом приближении для построения доверительных интервалов можно считать, что испытания проводились не по плану [N, Б, (r, T)], а по плану [N, B, (r, T)]. По той же причине оказываются практически эквивалентными доверительные интервалы, построенные исходя из плана [N, Б, r] и [N, B, r], если только наблюдаемое число d(T) отказавших элементов значительно меньше общего числа N испытываемых одновременно элементов, .